Ngôi sao năm cánh là hình sao đa giác đều đơn giản nhất. Ngôi sao năm cánh gồm 10 điểm (5 điểm ở đỉnh và 5 giao điểm tại các cạnh) và 15 đoạn thẳng. Giống như hình ngũ giác đều và ngũ giác đều cùng với ngôi sao năm cánh bên trong nó, ngôi sao năm cánh có nhóm đối xứng và nhóm nhị diện bậc 10.

Dựng hình

Ngôi sao năm cánh có thể được dựng bằng cách nối năm đỉnh của một ngũ giác đều hay kéo dài năm cạnh ngũ giác đều cho tới khi chúng cắt nhau.

Tỷ lệ vàng

Ngôi sao năm cánh được tô màu để phân biệt những đoạn có độ dài khác nhau. Bốn chiều dài đó xác định tỷ lệ vàng.

Theo tỷ lệ vàng, φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618, thoả mãn:

φ = 1 + 2 sin ⁡ ( π / 10 ) = 1 + 2 sin ⁡ 18 ∘ {\displaystyle \varphi =1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }\,} φ = 1 / ( 2 sin ⁡ ( π / 10 ) ) = 1 / ( 2 sin ⁡ 18 ∘ ) {\displaystyle \varphi =1/(2\sin(\pi /10))=1/(2\sin 18^{\circ })\,} φ = 2 cos ⁡ ( π / 5 ) = 2 cos ⁡ 36 ∘ {\displaystyle \varphi =2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }\,}

đóng một vai trò quan trọng trong ngũ giác đều và ngôi sao năm cánh. Mỗi giao điểm của cạnh chia cạnh đó theo tỉ lệ vàng: tỉ lệ chiều dài của cạnh so với đoạn dài hơn bằng với tỉ lệ chiều dài của đoạn dài hơn so với đoạn ngắn hơn và đều bằng φ.

Giá trị lượng giác

Xem Những hằng số lượng giác chính xác:Ngũ giác sin ⁡ π 10 = sin ⁡ 18 ∘ = 5 − 1 4 = φ − 1 2 = 1 2 φ {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}={\frac {\varphi -1}{2}}={\frac {1}{2\varphi }}} cos ⁡ π 10 = cos ⁡ 18 ∘ = 2 ( 5 + 5 ) 4 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}{4}}} tan ⁡ π 10 = tan ⁡ 18 ∘ = 5 ( 5 − 2 5 ) 5 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}{5}}} cot ⁡ π 10 = cot ⁡ 18 ∘ = 5 + 2 5 {\displaystyle \cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}} sin ⁡ π 5 = sin ⁡ 36 ∘ = 2 ( 5 − 5 ) 4 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}{4}}} cos ⁡ π 5 = cos ⁡ 36 ∘ = 5 + 1 4 = φ 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\varphi }{2}}} tan ⁡ π 5 = tan ⁡ 36 ∘ = 5 − 2 5 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}} cot ⁡ π 5 = cot ⁡ 36 ∘ = 5 ( 5 + 2 5 ) 5 {\displaystyle \cot {\frac {\pi }{5}}=\cot 36^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}{5}}}

Thứ nguyên cao cấp

Phép chiếu trực giao đa diện thứ nguyên cao cấp có thể tao ra những hình thuộc dạng ngôi sao năm cánh:

Hình chiếu của một hình Pentachoron đều, có 5 đỉnh và 10 cạnh

Hình chiếu của một hình Rectified 5-cell có 10 đỉnh và 30 cạnh

Tất cả 10 hình Schläfli-Hess polychoron bốn chiều đều có mặt thuộc dạng ngôi sao năm cánh hay là những thành phần hình chóp.